Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 32-е изд.

Автор задачника – Ольга Николаевна Цубербиллер (1885 - 1975), известный математик, профессор МГУ, где она в 1943 - 1966 гг. возглавляла кафедру геометрии. Книга выдержала множество изданий и до сих пор остается популярной. Рассчитана в первую очередь на студентов вузов математических и технических специальностей, но будет полезна также и тем, кто изучает математику самостоятельно. В каждом разделе приводятся необходимые сведения из теории. Типовые задачи снабжены решениями, а к большинству задач имеются указания.Задачник охватывает такие разделы аналитической геометрии, как системы координат; прямые на плоскости; прямые и плоскости в пространстве; кривые и поверхности второго порядка. Отдельная часть книги посвящена основам векторной алгебры.Предисловие к шестнадцатому изданиюНастоящий сборник рассчитан на студентов втузов и педвузов. В нем, по возможности, использованы задачи из области физики, механики и других прикладных наук. Обращено внимание на графики, на механическое образование кривых и поверхностей, дано понятие о простейших механизмах в связи с задачами на геометрические места.При составлении сборника имелись в виду также заочники и лица, изучающие математику самостоятельно, вследствие чего в начале каждой главы даны не только формулы, но и все теоретические пояснения, необходимые для правильного и сознательного их применения. Типовые задачи решены в тексте, ответы к большинству задач снабжены указаниями, а иногда и подробными решениями. Каждая глава начинается с легких примеров, и задачи подобраны так, чтобы трудность их возрастала постепенно.Отдельными указаниями, примечаниями и вопросами мы старались все время напоминать учащимся, что, пользуясь аналитическим методом, они все же имеют дело с геометрией, что каждому шагу в аналитических выкладках соответствует геометрическое содержание и каждый полученный результат имеет простое конкретное толкование.Материал расположен так, что студенты еще до изучения общей теории кривых (или поверхностей) второго порядка получают основательные сведения об их геометрических свойствах. В общей теории главное внимание обращено на исследование кривых (или поверхностей), т. е. на проработку двух вопросов: как по уравнению кривой (поверхности) судить о присущих ей свойствах и как судить об особенностях в ее расположении относительно выбранной системы координат.Начиная со второго издания, сборник пополнялся новыми задачами в тех разделах, которые при работе во втузах оказались несколько бедны материалом, а в дальнейшем, — в связи с возрастающими требованиями к молодым специалистам, — сборник перерабатывался и пополнялся более трудными задачами.Для XI и всех последующих изданий была написана новая, четвертая часть, относящаяся к векторной алгебре и ее применению в геометрии. Введение векторов не затронуло материала первых трех частей, что соответствует интересам студентов тех втузов, в которых векторная алгебра не изучается или изучается отдельно, после прохождения аналитической геометрии. Для студентов, изучающих векторную алгебру в курсе аналитической геометрии, знакомство с векторами естественно приурочить к тому моменту, когда приступают к изучению геометрии в пространстве. Однако глава XV содержит материал, не требующий никаких предварительных знаний, а потому, в интересах смежных дисциплин, его можно проработать значительно раньше.§ 1 гл. XVI основывается на гл. VII и должен непосредственно следовать за нею. К § 2 гл. XVI следует перейти, когда материал гл. VIII закреплен достаточным количеством упражнений. § 3 гл. XVI можно прорабатывать параллельно гл. IX, а §§ 4 и 5 — параллельно гл. X.Задачи гл. XVI не вводят существенно нового геометрического материала, но дают возможность к задачам одинакового содержания применять различные методы.Очень рекомендуется учащимся сопоставлять формулы и уравнения, данные в координатах и векторных обозначениях, сравнивать ход решений и полученные результаты и переходить от векторных обозначений к координатным и обратно, чтобы оценить преимущества каждого метода при решении того или иного вопроса.Перед выходом XV издания было тщательно проверено, не содержит ли сборник таких научных положений, которые могли бы быть неправильно поняты студентами младших курсов, как недостаточно связанные с конкретными представлениями.В свое время сборник составлялся на основе классического учебника профессора Б. К. Млодзеевского, курса профессора А. К. Власова и других представителей школы геометров Московского университета, которые строили курс аналитической геометрии, пользуясь началами проективной геометрии, а потому вводили довольно рано понятие о несобственных элементах, очень тщательно разъясняя смысл и значение этого понятия.Но за последние годы, параллельно блестящему развитию советской науки, изменился и характер читаемых курсов. С одной стороны, курс аналитической геометрии для студентов-математиков базируется теперь на аффинно-метрической геометрии, и только в конце курса даются основы проективной геометрии. С другой стороны, во втузах в общий, чрезвычайно насыщенный, курс математики оказалось невозможным включить начала проективной геометрии, а потому в современных учебниках, составленных специально для втузов, несобственные элементы совершенно исключены.В связи с этим в XV издании настоящего сборника были изменены теоретические пояснения и изменена редакция всех задач, в которых раньше упоминались несобственные (бесконечно-удаленные) элементы.После этих изменений оказалось нецелесообразным сохранять прежнюю классификацию кривых и поверхностей второго порядка, основанную на особенностях их пересечения с прямой линией. Поэтому для XVI издания настоящего сборника был переработан и перегруппирован материал, относящийся к общей теории кривых второго порядка (гл. VI) и к общей теории поверхностей второго порядка (гл. XIV). Первым вопросом при исследовании кривых второго порядка ставится вопрос о существовании центра; непосредственно к нему примыкает рассмотрение и исследование кривых, распавшихся на пару прямых. Окончательная классификация нераспавшихся кривых связывается с приведением их уравнений к простейшему виду.Аналогичный план проведен и в общей теории поверхностей второго порядка. Такое распределение материала больше соответствует современной постановке преподавания во втузах.Оглавление Часть первая Аналитическая геометрия на прямойГлава I. Положение точки на прямой. Основные формулы — стр. 91. Формулы преобразования координат — стр. 112. Основные формулы — стр. 11Часть вторая Аналитическая геометрия на плоскостиГлава II. Координаты точки на плоскости. Основные формулы — стр. 171. Прямоугольные координаты. Графики — стр. 172. Расстояние между двумя точками. Направление отрезка. Площадь треугольника — стр. 233. Деление отрезка в данном отношении — стр. 264. Косоугольная система координат — стр. 295. Полярная система координат — стр. 326. Проекции. Преобразование координат — стр. 34Глава III. Геометрическое значение уравнений — стр. 391. Построение кривой по ее уравнению — стр. 392. Составление уравнения кривой по ее геометрическим свойствам — стр. 42Глава IV. Прямая линия — стр. 511. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении — стр. 512. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой относительно отрезков. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой — стр. 553. Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой — стр. 594. Общее уравнение прямой. Пересечение двух прямых. Условие прохождения трех прямых через одну точку. Пучок прямых — стр. 665. Смешанные задачи на прямую — стр. 73Глава V. Элементарные свойства кривых второго порядка — стр. 751. Окружность — стр. 752. Эллипс — стр. 843. Гипербола — стр. 914. Парабола — стр. 1005. Полярные уравнения кривых второго порядка — стр. 106Глава VI. Общая теория кривых второго порядка — стр. 1071. Общее уравнение кривой второго порядка. Преобразование этого уравнения при параллельном перенесении осей координат. Центр кривой — стр. 1072. Условие распадения кривой второго порядка на пару прямых. Исследование общего уравнения второй степени — стр. 1103. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Уравнение касательной — стр. 1154. Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам — стр. 1195. Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов — стр. 1276. Полюс и поляра — стр. 1307. Задачи на фокальные свойства кривых, не отнесенных к главным направлениям — стр. 1338. Смешанные задачи — стр. 135ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕГлава VII. Прямоугольные координаты — стр. 139Глава VIII. Геометрическое значение уравнений — стр. 147Глава IX. Плоскость — стр. 150Глава X. Прямая линия в пространстве — стр. 1581. Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Условие пересечения двух прямых в пространстве — стр. 1582. Прямая и плоскость — стр. 164Глава XI. Сфера — стр. 167Глава XII. Конус и цилиндр — стр. 171Глава XIII. Поверхности второго порядка, данные простейшими уравнениями — стр. 174Глава XIV. Общая теория поверхностей второго порядка — стр. 1841. Общее уравнение поверхности второго порядка и его преобразование при переносе начала координат. Центр поверхности. Условие, при котором уравнение изображает конус или пару плоскостей — стр. 1842. Пересечение поверхности с прямой и с плоскостью. Асимптотические направления. Касательная плоскость. 1883. Диаметральная плоскость. Главные направления. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка и приведение его к простейшему виду — стр. 193ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИГлава XV. Векторы и действия над ними — стр. 1991. Векторы. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение векторов — стр. 1992. Проекции векторов. Скалярное умножение векторов — стр. 2083. Векторное умножение. Смешанное произведение трех векторов. Двойное векторное произведение — стр. 212Глава XVI. Применение векторной алгебры в аналитической геометрии — стр. 2171. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Основные формулы. 2172. Геометрическое значение векторных уравнений — стр. 2253. Плоскость — стр. 2304. Прямая линия в пространстве — стр. 2355. Прямая и плоскость — стр. 240Ответы и указания — стр. 244