Линейная алгебра: Уч. пособие. 3-е изд

Настоящее учебное пособие представляет собой объединенный курс линейной алгебры и аналитической геометрии. Написано оно на основе лекций, которые читались автором на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Книга отличается направленностью изложения в сторону прикладных задач и особым построением аппарата исследования с целью большего приближения его к вычислительному аппарату. Учебное пособие предназначается студентам университетов и технических вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». Предисловие Настоящее учебное пособие представляет собой расширенный объединенный курс линейной алгебры и аналитической геометрии. Написано оно на основе лекций, которые в течение нескольких лет читались автором на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Несколько слов об этой книге. Она предназначена, в основном, для лиц, у которых вычислительная математика как предмет должна занять существенное место в образовании. Во многом обучение по этой специальности связано с традиционными математическими курсами. Тем не менее, приходится вносить изменения как в методику их изложения, так и в содержание. С линейной алгеброй и аналитической геометрией студенты-вычислители начинают знакомиться с первых же лекций. С первых же лекций должно начинаться и формирование их научного мировоззрения. Поэтому от того, что и как читается в данном курсе, во многом зависит и будущее восприятие студентами всей вычислительной математики. Существует немало хороших книг по линейной алгебре и аналитической геометрии. Однако их прямое использование для обучения оказывается затруднительным. Основная причина этого заключается, на наш взгляд, в том, что будущим вычислителям требуется знать, гораздо больше сведений из линейной алгебры, чем обычно дается в имеющихся книгах. Они должны не только получить строгое и систематическое изложение всех основ алгебры и геометрии, но уже на первом курсе прикоснуться к тому огромному богатству, которое накопила вычислительная алгебра. Прикосновение к проблемам вычислений позволяет эффективно расставить необходимые для интересов вычислительной математики акценты в лекционном курсе и установить тесную связь между теорией и численными методами в линейной алгебре. Основным материалом для этого служат простейшие факты из таких разделов, как ошибки округления, неустойчивость к возмущениям многих основных понятий линейной алгебры, устойчивость ортонормированных систем, метрические и нормированные пространства, сингулярное разложение, билинейные формы и их связь с вычислительными процессами и т. д. Конечно, включение нового и достаточно обширного материала невозможно без существенной перестройки традиционного курса. Попытка такой перестройки и предпринята в настоящей книге. В. Воеводин Воеводин В. В. Линейная алгебра: Уч. пособие. 3-е изд. Оглавление Предисловие........................ 6 ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Глава 1. Множества, элементы, операции § 1. Множества и элементы ............... 7 § 2. Алгебраическая операция.............. 9 § 3. Обратная операция................ 13 § 4. Отношение эквивалентности............. 15 § 5. Направленные отрезки............... 18 § 6. Сложение направленных отрезков........... 20 § 7. Группы..................... 23 § 8. Кольца и поля............... 27 § 9. Умножение направленного отрезка на число....... 30 § 10. Линейные пространства............... 33 § П. Конечные суммы и произведения............ 37 § 12. Приближенные вычисления............. 40 Глава 2. Строение линейного пространства........... 42 § 13. Линейные комбинации и оболочки........... 42 § 14. Линейная зависимость............... 44 § 15. Эквивалентные системы векторов ......... 47 § 16. Базис..................... 50 § 17. Простые примеры линейных пространств........ 52 § 18. Линейные пространства направленных отрезков...... 54 § 19. Сумма и пересечение подпространств.......... 57 § 20. Прямая сумма подпространств............ 61 § 21. Изоморфизм линейных пространств.......... 63 § 22. Линейная зависимость и системы линейных уравнений..... 67 Глава 3. Измерения в линейном пространстве.......... 72 § 23. Аффинные системы координат............. 72 § 24. Другие системы координат............. 77 § 25. Некоторые задачи................. 79 § 26. Скалярное произведение.............. 85 § 27. Евклидово пространство.............. 88 § 28. Ортогональность................. 92 § 29. Длины, углы, расстояния.............. 96 § 30. Наклонная, перпендикуляр, проекция........... 99 § 31. Евклидов изоморфизм ........... 103 § 32.. Унитарное пространство.............. 104 § 33. Линейная зависимость и ортонормированныё системы .......... 106 Глава 4. Объем системы векторов в линейном пространстве...... 108 § 34. Векторное и смешанное произведения......... 108 § 35. Объем и ориентированный объем системы векторов .... 113 § 36. Геометрические и алгебраические свойства объема..... 116 § 37. Алгебраические свойства ориентированного объема..... 120 § 38. Перестановки.................. 122 § 39. Существование ориентированного объема...... 124 § 40. Определители.................. 126 § 41. Линейная зависимость и определители......... 131 § 42. Вычисление определителей............... 134 Глава 5. Прямая линия и плоскость в линейном пространстве..... 136 § 43. Уравнения прямой линии и плоскости......... 136 § 44. Совместное расположение............ 142 § 45. Плоскость в линейном пространстве......... 145 § 46. Прямая линия и гиперплоскость........... 149 § 47. Полупространство................ 154 § 48. Системы линейных уравнений............ 156 Глава 6. Предел в линейном пространстве........... 161 § 49. Метрическое пространство.............. 161 § 50. Полное пространство................ 163 § 51. Вспомогательные неравенства............ 166 § 52. Нормированное пространство............ 168 § 53. Сходимость по норме и координатная сходимость..... 171 § 54. Полнота нормированных пространств......... 174 § 55. Предел и вычислительные процессы.......... 176 ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕР АГОРЫ Глава 7. Матрицы и линейные операторы........... 179 § 56. Операторы................... 179 § 57. Линейное пространство операторов.......... 182 § 58. Кольцо операторов................ 185 § 59. Группа невырожденных операторов.......... 186 § 60. Матрица оператора................ 190 § 61. Операции над матрицами.............. 194 § 62. Матрицы и определители.............. 198 § 63. Переход к другому базису............. 202 § 64. Эквивалентные и подобные матрицы......... 204 Глава 8. Характеристический многочлен............ 207 § 65. Собственные значения и собственные векторы...... 207 § 66. Характеристический многочлен............ 210 § 67. Кольцо многочленов................ 212 § 68. Основная теорема алгебры............. 216 § 69. Следствия из основной теоремы........... 221 Глава 9. Строение линейного оператора ............ 226 § 70. Инвариантные подпространства............ 226 § 71. Операторный многочлен.............. 229 § 72. Треугольная форма................ 231 § 73. Прямая сумма операторов............. 233 § 74. Жорданова форма................. 237 § 75. Сопряженный оператор............. 241 § 76. Нормальный оператор............... 246 § 77. Унитарный и эрмитов операторы........... 248 § 78. Операторы А*А и АА*............... 252 § 79. Разложения произвольного оператора......... 255 § 80. Операторы в вещественном пространстве........ 257 § 81. Матрицы специального вида............ 260 Глава 10. Метрические свойства оператора........... 263 § 82. Непрерывность и ограниченность оператора....... 263 § 83. Норма оператора................. 265 § 84. Матричные нормы оператора............ 269 § 85. Операторные уравнения............... 272 § 86. Псевдорешения и псевдообратный оператор....... 274 !; 87. Возмущение и невырожденность оператора....... 278 § 88. Устойчивое решение уравнений............ 282 § 89. Возмущение и собственные значения......... 287 ЧАСТЬ III. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Глава 11. Билинейные и квадратичные формы......... 291 § 90. Общие свойства билинейных и квадратичных форм .... 291 § 91. Матрицы билинейных и квадратичных форм....... 298 § 92. Приведение к каноническому виду.......... 304 § 93. Конгруэнтность и матричные разложения....... 312 § 94. Симметричные билинейные формы........... 318 § 95. Гиперповерхности второго порядка.......... 325 § 96. Линии второго порядка.............. 330 § 97. Поверхности второго порядка............ 338 Глава 12. Билинейно метрические пространства......... 344 § 98. Матрица и определитель Грама........... 344 § 99. Невырожденные подпространства........... 351 § 100. Ортогональность в базисах............. 355 § 101. Операторы и билинейные формы........... 362 § 102. Билинейно метрический изоморфизм.......... 367 Глава 13. Билинейные формы в вычислительных процессах..... 370 § 103. Процессы ортогонализации............. 370 | 104. Ортогонализация степенной последовательности...... 376 § 105. Методы сопряженных направлений.......... 381 § 106. Основные варианты................ 387 § 107. Операторные уравнения и псевдодвойственность..... 390 Заключение...................... 395 Предметный указатель.................. 397